Analysis Beispiele

$\frac{x^{4}}{1 - x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 1 - x^{3}$ .

$\frac{(1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{(1 - x^{3}) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $1 - x^{3}$ .

$\frac{4 \cdot (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} - x^{4} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.7

Multipliziere.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + 1 x^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{4} (3 x^{2})}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{2} x^{4} \cdot 3}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{2 + 4} \cdot 3}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + x^{6} \cdot 3}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{6}$ .

$\frac{4 (1 - x^{3}) x^{3} + 3 \cdot x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 \cdot 1 + 4 (- x^{3})) x^{3} + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cdot 1 x^{3} + 4 (- x^{3}) x^{3} + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (- x^{3}) x^{3} + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (- (x^{3} x^{3})) + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{3} + 4 (- x^{3 + 3}) + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.3

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (- x^{6}) + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x^{6} + 3 x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Addiere $- 4 x^{6}$ und $3 x^{6}$ .

$\frac{4 x^{3} - x^{6}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{6} + 4 x^{3}}{{(- x^{3} + 1)}^{2}}$