Analysis Beispiele

$\frac{x^{3} + 27}{x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3} + 27$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.4

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 2.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{3} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2 + 3} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{x^{5} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$\frac{3 \cdot x^{5} - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{3 x^{5} - (x^{3} + 27) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 (x^{3} + 27) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{5} + (- 3 x^{3} - 3 \cdot 27) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 (x^{2} x^{3}) - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{2 + 3} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 7.3.1.1.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{5} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 7.3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $27$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{5} - 81 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $3 x^{5}$ von $3 x^{5}$ .

$\frac{0 - 81 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 7.3.3

Subtrahiere $81 x^{2}$ von $0$ .

$\frac{- 81 x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 7.4

Vereine die Terme

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 7.4.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 81 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{6}}$

Schritt 7.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 7.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 7.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 81}{x^{4}}$

Schritt 7.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{81}{x^{4}}$