Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - \ln (\frac{10}{x})}{7 x^{2} + 5 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - \ln (\frac{10}{x})$ und $g (x) = 7 x^{2} + 5 x$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - \ln (\frac{10}{x})] - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - \ln (\frac{10}{x})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{10}{x})]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{10}{x})]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{10}{x})]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (\frac{10}{x})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (\frac{10}{x})]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - \frac{d}{d x} [\ln (\frac{10}{x})]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{10}{x}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{10}{x}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{10}{x}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (\frac{1}{\frac{10}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{10}{x}$ zu dividieren.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (1 \frac{x}{10} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{x}{10}$ mit $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (\frac{x}{10} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 6

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{10}{x}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - \frac{x}{10} (10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - 10 \frac{x}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 7.2

Kombiniere $- 10$ und $\frac{x}{10}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{- 10 x}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $10$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $10$ aus $- 10 x$ heraus.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{10 (- x)}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{10 (- x)}{10 (1)} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{10 (- x)}{10 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{- x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 7.3.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 7.4

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - x (- x^{- 2})) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 9

Multipliziere.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + 1 x \cdot x^{- 2}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x \cdot x^{- 2}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 10

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 10.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{1} x^{- 2}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{1 - 2}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 12

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 14

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + \frac{d}{d x} [5 x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 15

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5 \frac{d}{d x} [x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5 \cdot 1)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 17

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 18

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{1}{x}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19

Vereinfache.

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Schritt 19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{1}{x}) + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1.1

Multipliziere $(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{1}{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 19.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 x^{2} (2 x + \frac{1}{x}) + 5 x (2 x + \frac{1}{x}) + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 x^{2} (2 x) + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x + \frac{1}{x}) + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 x^{2} (2 x) + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{7 \cdot 2 x^{2} x + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.2.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{7 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 19.2.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{7 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7 \cdot 2 x^{1 + 2} + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{7 \cdot 2 x^{3} + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 19.2.1.2.4.1

Faktorisiere $x$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$\frac{14 x^{3} + x (7 x) \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 x^{3} + x (7 x) \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 5 \cdot 2 x \cdot x + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.2.1.2.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 5 \cdot 2 (x \cdot x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 5 \cdot 2 x^{2} + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 19.2.1.2.8.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + x \cdot 5 \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + x \cdot 5 \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.3

Multipliziere $- - \ln (\frac{10}{x})$ .

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Schritt 19.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 + (- x^{2} + 1 \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (\frac{10}{x})$ mit $1$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 + (- x^{2} + \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.4

Multipliziere $(- x^{2} + \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 19.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - x^{2} (14 x + 5) + \ln (\frac{10}{x}) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - x^{2} (14 x) - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - x^{2} (14 x) - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 x^{2} x - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.2.1.5.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 19.2.1.5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + 14 \ln (\frac{10}{x}) x + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.6

Vereinfache $14 \ln (\frac{10}{x})$ , indem du $14$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln ({(\frac{10}{x})}^{14}) x + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.7

Wende die Produktregel auf $\frac{10}{x}$ an.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{10^{14}}{x^{14}}) x + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.8

Potenziere $10$ mit $14$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.9

Multipliziere $\ln (\frac{10}{x}) \cdot 5$ .

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Schritt 19.2.1.5.9.1

Stelle $\ln (\frac{10}{x})$ und $5$ um.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + 5 \cdot \ln (\frac{10}{x})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.9.2

Vereinfache $5 \cdot \ln (\frac{10}{x})$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln ({(\frac{10}{x})}^{5})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.10

Wende die Produktregel auf $\frac{10}{x}$ an.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{10^{5}}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.1.5.11

Potenziere $10$ mit $5$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})$ .

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Schritt 19.2.2.1

Subtrahiere $14 x^{3}$ von $14 x^{3}$ .

$\frac{7 x + 10 x^{2} + 5 + 0 - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.2.2

Addiere $7 x + 10 x^{2} + 5$ und $0$ .

$\frac{7 x + 10 x^{2} + 5 - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.3

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $10 x^{2}$ .

$\frac{7 x + 5 x^{2} + 5 + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.2.4

Stelle die Faktoren in $7 x + 5 x^{2} + 5 + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})$ um.

$\frac{7 x + 5 x^{2} + 5 + x \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Schritt 19.3

Stelle die Terme um.

$\frac{5 x^{2} + x \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) + 7 x + 5 + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$