Analysis Beispiele

$\frac{x^{3}}{9} \cdot (3 \ln (x - 1))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{3}}{9}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3}}{9} \cdot \ln (x - 1)]$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $\frac{3 x^{3}}{9}$ und $\ln (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3} \ln (x - 1)}{9}]$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3} \ln (x - 1)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{9}]$

Schritt 1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

Schritt 1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

Schritt 1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}]$

Schritt 1.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \ln (x - 1)$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{x - 1}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + 0) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \cdot 1 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{x - 1}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) (3 x^{2}))$

Schritt 5

Um $\ln (x - 1) (3 x^{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \frac{\ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$ .

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 (x - 1)}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{3} + 3 \ln (x - 1) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Schritt 8.2.1.2

Vereinfache $3 \ln (x - 1)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Schritt 8.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} x + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Schritt 8.2.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x \cdot x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Schritt 8.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x^{1} x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Schritt 8.2.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{1 + 2} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Schritt 8.2.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Schritt 8.2.1.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - 1 \cdot (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Schritt 8.2.1.6

Schreibe $- 1 (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ als $- (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ um.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Schritt 8.2.2

Stelle die Faktoren in $x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ um.

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x - 3}$