Analysis Beispiele

$\frac{x^{3}}{\sin (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\sin (x) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (3 x^{2}) - x^{3} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 \sin (x) x^{2} - x^{3} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.1.2

Stelle die Faktoren in $3 \sin (x) x^{2} - x^{3} \cos (x)$ um.

$\frac{3 x^{2} \sin (x) - x^{3} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2} \sin (x) - x^{3} \cos (x)$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2} \sin (x)$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 \sin (x)) - x^{3} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{3} \cos (x)$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 \sin (x)) + x^{2} (- x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (3 \sin (x)) + x^{2} (- x \cos (x))$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 \sin (x) - x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$