Analysis Beispiele

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - e^{x}$ und $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}] - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}] - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) - (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $- e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{- e^{x} + e^{x} (- e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.3

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.3.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - (e^{x} e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- e^{x} - e^{x + x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.3.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.5

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.6

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.6.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - (e^{x} e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{x + x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.6.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.7

Multipliziere $- - e^{2 x}$ .

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Schritt 6.4.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + 1 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.7.2

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + e^{2 x}$ .

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Schritt 6.4.2.1

Addiere $- e^{2 x}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{- e^{x} + 0 - e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.2.2

Addiere $- e^{x}$ und $0$ .

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4.3

Subtrahiere $e^{x}$ von $- e^{x}$ .

$\frac{- 2 e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$