Analysis Beispiele

$\frac{x^{6}}{1 + \ln (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = 1 + \ln (x)$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) (6 x^{5}) - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $1 + \ln (x)$ .

$\frac{6 \cdot (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{1}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $x^{6}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x^{6}}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{6}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x^{5}}{1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.2.2.5

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(6 \cdot 1 + 6 \ln (x)) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 \cdot 1 x^{5} + 6 \ln (x) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 \ln (x) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Vereinfache $6 \ln (x)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{6 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $x^{5}$ von $6 x^{5}$ .

$\frac{5 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Stelle die Faktoren in $5 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5}$ um.

$\frac{5 x^{5} + x^{5} \ln (x^{6})}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x^{5}$ aus $5 x^{5} + x^{5} \ln (x^{6})$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus $5 x^{5}$ heraus.

$\frac{x^{5} \cdot 5 + x^{5} \ln (x^{6})}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{5} \ln (x^{6})$ heraus.

$\frac{x^{5} \cdot 5 + x^{5} (\ln (x^{6}))}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{5} \cdot 5 + x^{5} (\ln (x^{6}))$ heraus.

$\frac{x^{5} (5 + \ln (x^{6}))}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$