Analysis Beispiele

$\frac{x e^{x}}{\ln (x^{2} - 1)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x e^{x}$ und $g (x) = \ln (x^{2} - 1)$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}] - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} (\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2} - 1}$ und $x$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{x}{x^{2} - 1} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 6.2

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 6.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 6.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (2 x + 0)}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 6.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (2 x)}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - 2 \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} x}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 6.6.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{e^{x} x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x)}{x^{2} - 1} x}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 6.6.4

Kombiniere $\frac{- 2 (e^{x} x)}{x^{2} - 1}$ und $x$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x) x}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} (x^{1} x))}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} (x^{1} x^{1}))}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x^{1 + 1})}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x^{2})}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 12

Um $\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} - \frac{2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 14

Schreibe $\frac{\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$ als ein Produkt um.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 15

Mutltipliziere $\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}$ mit $\frac{1}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16.1.1.2

Multipliziere $(\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x}) (x^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 16.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) (x^{2} - 1) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) x^{2} + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) x^{2} + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1.1.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.1.1.3.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{2} x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 16.1.1.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{2} x^{1} e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16.1.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{2 + 1} e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16.1.1.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16.1.1.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\ln (x^{2} - 1) (x e^{x})$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - 1 \cdot (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x})) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16.1.1.3.3

Schreibe $- 1 (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}))$ als $- (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}))$ um.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x})) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16.1.1.3.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - 1 \cdot (\ln (x^{2} - 1) e^{x}) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16.1.1.3.5

Schreibe $- 1 (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ als $- (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ um.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x} - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16.1.2

Stelle die Faktoren in $\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x} - 2 e^{x} x^{2}$ um.

$\frac{x^{3} e^{x} \ln (x^{2} - 1) - x e^{x} \ln (x^{2} - 1) + x^{2} e^{x} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1) - 2 x^{2} e^{x}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Schritt 16.2

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x^{3} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} x \ln (x^{2} - 1) + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{\ln^{2} (x^{2} - 1) (x^{2} - 1)}$