Analysis Beispiele

$\frac{1}{7 x^{2} + 7}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{7 x^{2} + 7}$ als ${(7 x^{2} + 7)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(7 x^{2} + 7)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 7 x^{2} + 7$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x^{2} + 7$ .

$- {(7 x^{2} + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- {(7 x^{2} + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(7 x^{2} + 7)}^{- 2} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(7 x^{2} + 7)}^{- 2} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$- {(7 x^{2} + 7)}^{- 2} (14 x + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(7 x^{2} + 7)}^{- 2} (14 x + 0)$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $14 x$ und $0$ .

$- {(7 x^{2} + 7)}^{- 2} (14 x)$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$- 14 {(7 x^{2} + 7)}^{- 2} x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 14 \frac{1}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}} x$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 14$ und $\frac{1}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 14}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}} x$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{14}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}} x$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{14}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 14}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4.2.4

Bringe $14$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{14 x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{2} + 7$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$- \frac{14 x}{{(7 (x^{2}) + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$- \frac{14 x}{{(7 (x^{2}) + 7 (1))}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (x^{2}) + 7 (1)$ heraus.

$- \frac{14 x}{{(7 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Wende die Produktregel auf $7 (x^{2} + 1)$ an.

$- \frac{14 x}{7^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$- \frac{14 x}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $49$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $7$ aus $14 x$ heraus.

$- \frac{7 (2 x)}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $7$ aus $49 {(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

$- \frac{7 (2 x)}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{7 (2 x)}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 x}{7 {(x^{2} + 1)}^{2}}$