Analysis Beispiele

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ als ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 + e^{- x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + e^{- x}$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.2

Multipliziere.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere ${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ mit $1$ .

${(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x} \cdot 1$

Schritt 5.4

Mutltipliziere ${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ mit $1$ .

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Stelle die Faktoren von ${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ um.

$e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

Schritt 6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Schritt 6.3

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ .

$\frac{e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$