Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$ als ${(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 5 x + 6$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 5 x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 5 x + 6$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.6

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $2 x + 5$ und $0$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$ um.

$- (2 x + 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.6.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $5$ ist.

$2, 3$

Schritt 4.6.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x + 3)$ an.

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 2 x - 5$ mit $\frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- (2 x) - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.9

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{- (2 x) - 1 (5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{- (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.11

Schreibe $- (2 x + 5)$ als $- 1 (2 x + 5)$ um.

$\frac{- 1 (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x + 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$