Analysis Beispiele

$\frac{1}{\sqrt[8]{x}}$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[8]{x}$ als $x^{\frac{1}{8}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{8}}}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{8}}}$ als ${(x^{\frac{1}{8}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{8}})}^{- 1}]$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{8}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{8} \cdot - 1}]$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{8}}]$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{8}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8} x^{- \frac{1}{8} - 1}$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} x^{- \frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}}$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} x^{- \frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{8} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 8}{8}}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- \frac{1}{8} x^{\frac{- 1 - 8}{8}}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $8$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{8} x^{\frac{- 9}{8}}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8} x^{- \frac{9}{8}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x^{\frac{9}{8}}}$

Schritt 8.2

Vereine die Terme

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{9}{8}}}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{9}{8}} \cdot 8}$

Schritt 8.2.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{\frac{9}{8}}$ .

$- \frac{1}{8 x^{\frac{9}{8}}}$