Analysis Beispiele

$\frac{3 x^{7} - x^{3}}{x}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $3 x^{7} - x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $3 x^{7}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) - x^{3}}{x}]$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1}{x}]$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4} - 1)}{x}]$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} (3 x^{4} - 1)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x}]$

Schritt 1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x^{1}}]$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

Schritt 1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

Schritt 1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x^{4} - 1)}{1}]$

Schritt 1.2.2.5

Dividiere $x^{2} (3 x^{4} - 1)$ durch $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{4} - 1)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 x^{4} - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 1] + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x^{2} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.6

Addiere $12 x^{3}$ und $0$ .

$x^{2} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3

Addiere $3$ und $2$ .

$x^{5} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$12 \cdot x^{5} + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 x^{5} + (3 x^{4} - 1) (2 x)$

Schritt 7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 x^{4} - 1$ .

$12 x^{5} + 2 \cdot (3 x^{4} - 1) x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 x^{5} + (2 (3 x^{4}) + 2 \cdot - 1) x$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$12 x^{5} + 2 (3 x^{4}) x + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 8.3

Vereine die Terme

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$12 x^{5} + 6 x^{4} x + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 8.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$12 x^{5} + 6 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 8.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 x^{5} + 6 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 8.3.4

Addiere $1$ und $4$ .

$12 x^{5} + 6 x^{5} + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 8.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$12 x^{5} + 6 x^{5} - 2 x$

Schritt 8.3.6

Addiere $12 x^{5}$ und $6 x^{5}$ .

$18 x^{5} - 2 x$