Analysis Beispiele

$\frac{2 x - 3}{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x - 3$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{x \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 \cdot x - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x - (2 x - 3) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x - (2 x - 3)}{x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - (2 x) - - 3}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 x - - 3}{x^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{2 x - 2 x + 3}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{0 + 3}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $3$ .

$\frac{3}{x^{2}}$