Analysis Beispiele

$\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{7}{5 x^{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{7}{5 x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Schritt 2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{6}{2}$ und $x$ .

$\frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Schritt 2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Schritt 2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Schritt 2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Schritt 2.6.2.4

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$3 x + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{5 x^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- \frac{7}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{7}{5 x^{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{7}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 x - \frac{7}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$3 x - \frac{7}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$3 x - \frac{7}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x - \frac{7}{5} (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$3 x - \frac{7}{5} (- 2 x^{- 3})$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$3 x + 2 (\frac{7}{5}) x^{- 3}$

Schritt 3.11

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{5}$ .

$3 x + \frac{2 \cdot 7}{5} x^{- 3}$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$3 x + \frac{14}{5} x^{- 3}$

Schritt 3.13

Kombiniere $\frac{14}{5}$ und $x^{- 3}$ .

$3 x + \frac{14 x^{- 3}}{5}$

Schritt 3.14

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x + \frac{14}{5 x^{3}}$