Analysis Beispiele

$\frac{3 e^{x}}{5 e^{x} - 8}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 e^{x}}{5 e^{x} - 8}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{5 e^{x} - 8}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{5 e^{x} - 8}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 e^{x} - 8$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 8]}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 8]}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 e^{x} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 4.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 e^{x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x} + 0)}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1

Addiere $5 e^{x}$ und $0$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{x} e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 7

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Bewege $e^{x}$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 (e^{x} e^{x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{x + x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 7.3

Addiere $x$ und $x$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere $3$ und $\frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$ .

$\frac{3 ((5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (5 e^{x} e^{x} - 8 e^{x} - 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (5 e^{x} e^{x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.3.1.1.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{3 (5 (e^{x} e^{x})) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 9.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (5 e^{x + x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 9.3.1.1.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{3 (5 e^{2 x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 9.3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 9.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} - 24 e^{x} + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 9.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} - 24 e^{x} - 15 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 9.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $15 e^{2 x} - 24 e^{x} - 15 e^{2 x}$ .

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Schritt 9.3.2.1

Subtrahiere $15 e^{2 x}$ von $15 e^{2 x}$ .

$\frac{0 - 24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 9.3.2.2

Subtrahiere $24 e^{x}$ von $0$ .

$\frac{- 24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Schritt 9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$