Analysis Beispiele

$\frac{11 x^{2} + 10 x - 9}{x + 9}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 11 x^{2} + 10 x - 9$ und $g (x) = x + 9$ .

$\frac{(x + 9) \frac{d}{d x} [11 x^{2} + 10 x - 9] - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $11 x^{2} + 10 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x + 9) (\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 x^{2}$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x + 9) (11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x + 9) (11 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 + 0) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.9

Addiere $22 x + 10$ und $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.12

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (1 + 0)}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.13.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \cdot 1}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9)}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $(x + 9) (22 x + 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (22 x + 10) + 9 (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (22 x) + x \cdot 10 + 9 (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (22 x) + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{22 x \cdot x + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{22 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{22 x^{2} + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.3

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{22 x^{2} + 10 \cdot x + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $22$ mit $9$ .

$\frac{22 x^{2} + 10 x + 198 x + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$\frac{22 x^{2} + 10 x + 198 x + 90 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Addiere $10 x$ und $198 x$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - 10 x - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - 10 x + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $11 x^{2}$ von $22 x^{2}$ .

$\frac{11 x^{2} + 208 x + 90 - 10 x + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $10 x$ von $208 x$ .

$\frac{11 x^{2} + 198 x + 90 + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Addiere $90$ und $9$ .

$\frac{11 x^{2} + 198 x + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $11$ aus $11 x^{2} + 198 x + 99$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Faktorisiere $11$ aus $11 x^{2}$ heraus.

$\frac{11 (x^{2}) + 198 x + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $11$ aus $198 x$ heraus.

$\frac{11 (x^{2}) + 11 (18 x) + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $11$ aus $99$ heraus.

$\frac{11 x^{2} + 11 (18 x) + 11 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $11$ aus $11 x^{2} + 11 (18 x)$ heraus.

$\frac{11 (x^{2} + 18 x) + 11 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Faktorisiere $11$ aus $11 (x^{2} + 18 x) + 11 \cdot 9$ heraus.

$\frac{11 (x^{2} + 18 x + 9)}{{(x + 9)}^{2}}$