Analysis Beispiele

$\frac{1 - x}{1 + x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - x$ und $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) (- 1 \cdot 1) - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(1 + x) \cdot - 1 - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 + x$ .

$\frac{- 1 \cdot (1 + x) - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Schreibe $- 1 (1 + x)$ als $- (1 + x)$ um.

$\frac{- (1 + x) - (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- (1 + x) - (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- (1 + x) - (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- (1 + x) - (1 - x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{- (1 + x) - (1 - x) \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- (1 + x) - (1 - x)}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 \cdot 1 - x - (1 - x)}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 \cdot 1 - x - 1 \cdot 1 - - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - x - 1 \cdot 1 - - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - x - 1 - - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 3.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1 - x - 1 + 1 x}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - x - 1 + x}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1 - x - 1 + x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{- 1 + 0 - 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(1 + x)}^{2}}$