Analysis Beispiele

$\frac{18}{{(9 x + 1)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{18}{{(9 x + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(9 x + 1)}^{2}}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(9 x + 1)}^{2}}]$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(9 x + 1)}^{2}}$ als ${({(9 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ um.

$18 \frac{d}{d x} [{({(9 x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 \frac{d}{d x} [{(9 x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$18 \frac{d}{d x} [{(9 x + 1)}^{- 2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = 9 x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x + 1$ .

$18 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [9 x + 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$18 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [9 x + 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x + 1$ .

$18 (- 2 {(9 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [9 x + 1])$

Schritt 3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $18$ .

$- 36 ({(9 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [9 x + 1])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 36 {(9 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 36 {(9 x + 1)}^{- 3} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 36 {(9 x + 1)}^{- 3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$- 36 {(9 x + 1)}^{- 3} (9 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 36 {(9 x + 1)}^{- 3} (9 + 0)$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Addiere $9$ und $0$ .

$- 36 {(9 x + 1)}^{- 3} \cdot 9$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 36$ .

$- 324 {(9 x + 1)}^{- 3}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 324 \frac{1}{{(9 x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 324$ und $\frac{1}{{(9 x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 324}{{(9 x + 1)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{324}{{(9 x + 1)}^{3}}$