Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x e^{\sqrt{x}} + 5)$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\ln (x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} \frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5]$

Schritt 3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 13

Kombiniere $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 14

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 15

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 16

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 17

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 17.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} x e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 17.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 17.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 17.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 17.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 17.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 19

Mutltipliziere $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 20

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Schritt 21

Addiere $\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 22

Vereinfache.

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Schritt 22.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$

Schritt 22.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Schritt 22.2.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$

Schritt 22.2.2

Kombinieren.

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5)}$

Schritt 22.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

Schritt 22.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

Schritt 22.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

Schritt 22.5

Faktorisiere $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 22.5.1

Faktorisiere $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5}$

Schritt 22.5.2

Faktorisiere $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ aus $2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5}$

Schritt 22.5.3

Faktorisiere $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ aus $e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$ heraus.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5}$

Schritt 22.6

Faktorisiere $2$ aus $2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5$ heraus.

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Schritt 22.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x e^{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

Schritt 22.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 5$ heraus.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (5)}$

Schritt 22.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (5)$ heraus.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5)}$