Analysis Beispiele

$\frac{2}{3 \sqrt{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 10

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{3}{2}}}{3 \cdot 2}$

Schritt 12

Multipliziere.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{3}{2}}}{6}$

Schritt 12.2

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{6 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{6 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{2 (3 x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$