Analysis Beispiele

$- \frac{2}{2 x - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{2 x - 1}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x - 1}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x - 1}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{2 x - 1}$ als ${(2 x - 1)}^{- 1}$ um.

$- 2 \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 1$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 1$ .

$- 2 (- {(2 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 ({(2 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 {(2 x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 {(2 x - 1)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 {(2 x - 1)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 {(2 x - 1)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 {(2 x - 1)}^{- 2} (2 + 0)$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$2 {(2 x - 1)}^{- 2} \cdot 2$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 {(2 x - 1)}^{- 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$