Analysis Beispiele

$\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$

Schritt 1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 4 e^{x} - x$ .

$7 \frac{(4 e^{x} - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 \frac{(4 e^{x} - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $4 e^{x} - x$ .

$7 \frac{2 \cdot (4 e^{x} - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 e^{x} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 e^{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1 \cdot 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 5.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $7$ und $\frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 ((2 (4 e^{x}) + 2 (- x)) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{7 (8 e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.5.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $7$ .

$\frac{56 (e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.5.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- (x \cdot x))) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.5.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- x^{2})) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{56 e^{x} x + 7 (- 2 x^{2}) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.5.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.5.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 1 \cdot 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.5.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.5.1.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 (x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.5.1.9

Multipliziere $- x^{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 6.5.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 (1 x^{2})}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.5.1.9.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 x^{2}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.5.2

Addiere $- 14 x^{2}$ und $7 x^{2}$ .

$\frac{56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.5.3

Stelle die Faktoren in $56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}$ um.

$\frac{56 x e^{x} - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

Schritt 6.6

Stelle die Terme um.

$\frac{- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.1

Faktorisiere $7 x$ aus $- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.7.1.1

Faktorisiere $7 x$ aus $- 7 x^{2}$ heraus.

$\frac{7 x (- x) + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.7.1.2

Faktorisiere $7 x$ aus $56 e^{x} x$ heraus.

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.7.1.3

Faktorisiere $7 x$ aus $- 28 e^{x} x^{2}$ heraus.

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.7.1.4

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x (- x) + 7 x (8 e^{x})$ heraus.

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.7.1.5

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)$ heraus.

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x} - 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{7 x (- 4 e^{x} x - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 e^{x} x$ heraus.

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - (x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 e^{x} x) - (x)$ heraus.

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.11

Faktorisiere $- 1$ aus $8 e^{x}$ heraus.

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x})$ heraus.

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.13

Schreibe $- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ als $- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ um.

$\frac{7 x (- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.15

Stelle die Faktoren in $- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$ um.

$- \frac{7 x (4 x e^{x} + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$