Analysis Beispiele

${\cos (8 x)}^{x}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\cos (8 x)}^{x}$ als $e^{\ln ({\cos (8 x)}^{x})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (8 x)}^{x})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\cos (8 x)}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (8 x))}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x \ln (\cos (8 x))$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x \ln (\cos (8 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (8 x))]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (8 x))]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x \ln (\cos (8 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (8 x))]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (\cos (8 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (8 x))] + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (8 x)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (8 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (8 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\frac{1}{\cos (8 x)} \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Wandle von $\frac{1}{\cos (8 x)}$ nach $\sec (8 x)$ um.

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $8 x$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [8 x])) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [8 x])) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $8 x$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- 8 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- 8 \sin (8 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- 8 \sin (8 x))) + \ln (\cos (8 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- 8 \sin (8 x))) + \ln (\cos (8 x)) \cdot 1)$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $\ln (\cos (8 x))$ mit $1$ .

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- 8 \sin (8 x))) + \ln (\cos (8 x)))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x \ln (\cos (8 x))} (x (\sec (8 x) (- 8 \sin (8 x)))) + e^{x \ln (\cos (8 x))} \ln (\cos (8 x))$

Schritt 8.2

Entferne die Klammern.

$e^{x \ln (\cos (8 x))} x \sec (8 x) (- 8 \sin (8 x)) + e^{x \ln (\cos (8 x))} \ln (\cos (8 x))$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$- 8 e^{x \ln (\cos (8 x))} x \sec (8 x) \sin (8 x) + e^{x \ln (\cos (8 x))} \ln (\cos (8 x))$