Analysis Beispiele

$\frac{8 x^{5} - x^{2} + 8}{3 - x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 8 x^{5} - x^{2} + 8$ und $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$\frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [8 x^{5} - x^{2} + 8] - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{5} - x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [8 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{5}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (8 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (8 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - (2 x) + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x + 0) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9

Addiere $40 x^{4} - 2 x$ und $0$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.12

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.14

Multipliziere.

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Schritt 2.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + 1 (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.14.2

Mutltipliziere $8 x^{5} - x^{2} + 8$ mit $1$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + (8 x^{5} - x^{2} + 8) (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.16

Bringe $2$ auf die linke Seite von $8 x^{5} - x^{2} + 8$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + 2 \cdot (8 x^{5} - x^{2} + 8) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + (2 (8 x^{5}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 8) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (40 x^{4} - 2 x) - x^{2} (40 x^{4} - 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (40 x^{4}) + 3 (- 2 x) - x^{2} (40 x^{4} - 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (40 x^{4}) + 3 (- 2 x) - x^{2} (40 x^{4}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $40$ mit $3$ .

$\frac{120 x^{4} + 3 (- 2 x) - x^{2} (40 x^{4}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - x^{2} (40 x^{4}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 x^{2} x^{4} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.4.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 (x^{4} x^{2}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 x^{4 + 2} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.4.3

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 x^{6} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $40$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 x^{2} x + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.7.1

Bewege $x$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.2.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 x^{1 + 2} + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 x^{3} + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere $x^{5}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 (x \cdot x^{5})) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{5}$ .

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Schritt 3.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 (x^{1} x^{5})) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 x^{1 + 5}) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 x^{6}) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} - 2 x^{3} + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} - 2 x^{3} + 16 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} - 2 x^{3} + 16 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 16 x^{6} + 0 + 16 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 16 x^{6}$ und $0$ .

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 16 x^{6} + 16 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $- 6 x$ und $16 x$ .

$\frac{120 x^{4} - 40 x^{6} + 16 x^{6} + 10 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Addiere $- 40 x^{6}$ und $16 x^{6}$ .

$\frac{120 x^{4} - 24 x^{6} + 10 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 24 x^{6} + 120 x^{4} + 10 x}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2 x$ aus $- 24 x^{6} + 120 x^{4} + 10 x$ heraus.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 24 x^{6}$ heraus.

$\frac{2 x (- 12 x^{5}) + 120 x^{4} + 10 x}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $2 x$ aus $120 x^{4}$ heraus.

$\frac{2 x (- 12 x^{5}) + 2 x (60 x^{3}) + 10 x}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $2 x$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{2 x (- 12 x^{5}) + 2 x (60 x^{3}) + 2 x (5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- 12 x^{5}) + 2 x (60 x^{3})$ heraus.

$\frac{2 x (- 12 x^{5} + 60 x^{3}) + 2 x (5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- 12 x^{5} + 60 x^{3}) + 2 x (5)$ heraus.

$\frac{2 x (- 12 x^{5} + 60 x^{3} + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 12 x^{5}$ heraus.

$\frac{2 x (- (12 x^{5}) + 60 x^{3} + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $60 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x (- (12 x^{5}) - (- 60 x^{3}) + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (12 x^{5}) - (- 60 x^{3})$ heraus.

$\frac{2 x (- (12 x^{5} - 60 x^{3}) + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.9

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{2 x (- (12 x^{5} - 60 x^{3}) - 1 (- 5))}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (12 x^{5} - 60 x^{3}) - 1 (- 5)$ heraus.

$\frac{2 x (- (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5))}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.11

Schreibe $- (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)$ als $- 1 (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)$ um.

$\frac{2 x (- 1 (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5))}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 x) (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.13

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 x) (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$ um.

$- \frac{2 x (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$