Analysis Beispiele

${(x + 7)}^{2} + {(\sqrt{x})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x + 7)}^{2}$ als $(x + 7) (x + 7)$ um.

$\frac{d}{d x} [(x + 7) (x + 7) + {(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 2

Multipliziere $(x + 7) (x + 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x + 7) + 7 (x + 7) + {(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7) + {(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 + {(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 + {(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 3.1.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7 + {(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x + 7 x + 49 + {(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 3.2

Addiere $7 x$ und $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x + 49 + {(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 14 x + 49 + {(\sqrt{x})}^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Schritt 5.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$2 x + 14 + \frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 6

Da $49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$

Schritt 7

Berechne $\frac{d}{d x} [{(\sqrt{x})}^{2}]$ .

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Schritt 7.1

Schreibe ${(\sqrt{x})}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

Schritt 7.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot 2}]$

Schritt 7.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2}}]$

Schritt 7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2}}]$

Schritt 7.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [x^{1}]$

Schritt 7.1.5

Vereinfache.

$2 x + 14 + 0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 14 + 0 + 1$

Schritt 8

Vereine die Terme

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Schritt 8.1

Addiere $2 x + 14$ und $0$ .

$2 x + 14 + 1$

Schritt 8.2

Addiere $14$ und $1$ .

$2 x + 15$