Analysis Beispiele

${(x + y)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x + y)}^{2}$ als $(x + y) (x + y)$ um.

$\frac{d}{d x} [(x + y) (x + y)]$

Schritt 2

Multipliziere $(x + y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x + y) + y (x + y)]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x y + y (x + y)]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x y + y x + y \cdot y]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + y x + y \cdot y]$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + y x + y^{2}]$

Schritt 3.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

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Schritt 3.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + x y + y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Schritt 4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 6

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 9

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 2 y + 0$

Schritt 10

Addiere $2 x + 2 y$ und $0$ .

$2 x + 2 y$