Analysis Beispiele

${(\csc (x) - \cot (x))}^{- 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = \csc (x) - \cot (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x) - \cot (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x) - \cot (x)$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\csc (x) - \cot (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cot (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) - - \csc^{2} (x))$

Schritt 6

Multipliziere.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) + 1 \csc^{2} (x))$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $1$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x))$