Analysis Beispiele

$\frac{- 5 x^{5} - 3 x^{4} - 4 x^{3}}{x^{4}}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 5 x^{5} - 3 x^{4} - 4 x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 5 x^{5}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 5 x^{2}) - 3 x^{4} - 4 x^{3}}{x^{4}}]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 5 x^{2}) + x^{3} (- 3 x) - 4 x^{3}}{x^{4}}]$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 5 x^{2}) + x^{3} (- 3 x) + x^{3} \cdot - 4}{x^{4}}]$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (- 5 x^{2}) + x^{3} (- 3 x)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 5 x^{2} - 3 x) + x^{3} \cdot - 4}{x^{4}}]$

Schritt 1.5

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (- 5 x^{2} - 3 x) + x^{3} \cdot - 4$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 5 x^{2} - 3 x - 4)}{x^{4}}]$

Schritt 2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 5 x^{2} - 3 x - 4)}{x^{3} x}]$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (- 5 x^{2} - 3 x - 4)}{x^{3} x}]$

Schritt 2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{- 5 x^{2} - 3 x - 4}{x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = - 5 x^{2} - 3 x - 4$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 3 x - 4] - (- 5 x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x^{2} - 3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 5 x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 5 x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 5 x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{x (- 10 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 5 x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (- 10 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 5 x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (- 10 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 5 x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{x (- 10 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 5 x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.8

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (- 10 x - 3 + 0) - (- 5 x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.9

Addiere $- 10 x - 3$ und $0$ .

$\frac{x (- 10 x - 3) - (- 5 x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (- 10 x - 3) - (- 5 x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (- 10 x - 3) - (- 5 x^{2} - 3 x - 4)}{x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 10 x) + x \cdot - 3 - (- 5 x^{2} - 3 x - 4)}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 10 x) + x \cdot - 3 - (- 5 x^{2}) - (- 3 x) - - 4}{x^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 10 x \cdot x + x \cdot - 3 - (- 5 x^{2}) - (- 3 x) - - 4}{x^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 10 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - (- 5 x^{2}) - (- 3 x) - - 4}{x^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 10 x^{2} + x \cdot - 3 - (- 5 x^{2}) - (- 3 x) - - 4}{x^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 3 \cdot x - (- 5 x^{2}) - (- 3 x) - - 4}{x^{2}}$

Schritt 5.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 3 x + 5 x^{2} - (- 3 x) - - 4}{x^{2}}$

Schritt 5.3.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 3 x + 5 x^{2} + 3 x - - 4}{x^{2}}$

Schritt 5.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 3 x + 5 x^{2} + 3 x + 4}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 10 x^{2} - 3 x + 5 x^{2} + 3 x + 4$ .

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Schritt 5.3.2.1

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 5 x^{2} + 0 + 4}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $- 10 x^{2} + 5 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 5 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Schritt 5.3.3

Addiere $- 10 x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (5 x^{2}) + 4}{x^{2}}$

Schritt 5.5

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{- (5 x^{2}) - 1 (- 4)}{x^{2}}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{2}) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{- (5 x^{2} - 4)}{x^{2}}$

Schritt 5.7

Schreibe $- (5 x^{2} - 4)$ als $- 1 (5 x^{2} - 4)$ um.

$\frac{- 1 (5 x^{2} - 4)}{x^{2}}$

Schritt 5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 x^{2} - 4}{x^{2}}$