Analysis Beispiele

${(3 x^{4} + 8)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 x^{4} + 8$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{4} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{4} + 8$ .

$2 (3 x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.5

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $12 x^{3}$ und $0$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3})$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$24 (3 x^{4} + 8) x^{3}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(24 (3 x^{4}) + 24 \cdot 8) x^{3}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$24 (3 x^{4}) x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $24$ .

$72 x^{4} x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$72 (x^{3} x^{4}) + 24 \cdot 8 x^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$72 x^{3 + 4} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Addiere $3$ und $4$ .

$72 x^{7} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $24$ mit $8$ .

$72 x^{7} + 192 x^{3}$