Analysis Beispiele

${(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 - 2 \cos (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - 2 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - 2 \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Schritt 6.3

Bringe ${(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)])$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)])$

Schritt 9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 10

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 11

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 11.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 14

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (x))$

Schritt 15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \sin (x)$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \sin (x)$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$