Analysis Beispiele

$\frac{x + 3}{{(x - 3)}^{5}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 3$ und $g (x) = {(x - 3)}^{5}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{({(x - 3)}^{5})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{5})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{5 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Schritt 2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere ${(x - 3)}^{5}$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x - 3$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere ${(x - 3)}^{4}$ aus ${(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere ${(x - 3)}^{4}$ aus ${(x - 3)}^{5}$ heraus.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere ${(x - 3)}^{4}$ aus $- 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ heraus.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere ${(x - 3)}^{4}$ aus ${(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ heraus.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere ${(x - 3)}^{4}$ aus ${(x - 3)}^{10}$ heraus.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 8

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3)}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 3 - 5 x - 5 \cdot 3}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{x - 3 - 5 x - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $5 x$ von $x$ .

$\frac{- 4 x - 3 - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 10.2.3

Subtrahiere $15$ von $- 3$ .

$\frac{- 4 x - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 10.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x - 18$ heraus.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x) - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (- 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x) + 2 (- 9)$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 10.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x) - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 10.5

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (9))}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 10.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (9)$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 10.7

Schreibe $- (2 x + 9)$ als $- 1 (2 x + 9)$ um.

$\frac{2 (- 1 (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

Schritt 10.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (2 x + 9)}{{(x - 3)}^{6}}$