Analysis Beispiele

$\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{h}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x + h)}^{5} - x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x + h$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + h$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{h} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + h$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Schritt 3.3

Da $h$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $h$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - (5 x^{4}))$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4}) + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{h}$ .

$\frac{5}{h} {(x + h)}^{4} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{5}{h}$ und ${(x + h)}^{4}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{h}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5}{h} x^{4}$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $\frac{- 5}{h}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5 x^{4}}{h}$

Schritt 4.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} - \frac{5 x^{4}}{h}$

Schritt 4.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4}}{h}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 5 x^{4} + 5 {(x + h)}^{4}}{h}$