Analysis Beispiele

$\frac{d^{9}}{d x^{9}} \cdot (x^{8} \ln (x))$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{8}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{8} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $x^{8}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{8}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{8}$ und $x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{8}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{7}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Schritt 1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{7}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Schritt 1.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Schritt 1.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Schritt 1.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{7}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Schritt 1.3.2.2.5

Dividiere $x^{7}$ durch $1$ .

$x^{7} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$x^{7} + \ln (x) (8 x^{7})$

Schritt 1.3.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{7} \ln (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ .

$7 x^{6} + 8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $x^{7}$ und $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{7}$ und $x$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{7}$ heraus.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.2.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.2.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.2.6.2.5

Dividiere $x^{6}$ durch $1$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 8 (\ln (x) (7 x^{6}))$

Schritt 2.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 56 (\ln (x) (x^{6}))$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $7 x^{6}$ und $8 x^{6}$ .

$15 x^{6} + 56 \ln (x) x^{6}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15 x^{6}] + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{6}] + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{6}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{6}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$15 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $15$ .

$90 x^{5} + \frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [56 x^{6} \ln (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $56$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $56 x^{6} \ln (x)$ nach $x$ gleich $56 \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ .

$90 x^{5} + 56 \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$90 x^{5} + 56 (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Schritt 3.3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$90 x^{5} + 56 (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$90 x^{5} + 56 (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $x^{6}$ und $\frac{1}{x}$ .

$90 x^{5} + 56 (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Schritt 3.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{6}$ und $x$ .

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Schritt 3.3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6}$ heraus.

$90 x^{5} + 56 (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Schritt 3.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$90 x^{5} + 56 (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Schritt 3.3.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$90 x^{5} + 56 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Schritt 3.3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$90 x^{5} + 56 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Schritt 3.3.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$90 x^{5} + 56 (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Schritt 3.3.6.2.5

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$90 x^{5} + 56 (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$90 x^{5} + 56 x^{5} + 56 (\ln (x) (6 x^{5}))$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $56$ .

$90 x^{5} + 56 x^{5} + 336 (\ln (x) (x^{5}))$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $90 x^{5}$ und $56 x^{5}$ .

$146 x^{5} + 336 \ln (x) x^{5}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = 146 x^{5} + 336 x^{5} \ln (x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $146 x^{5} + 336 x^{5} \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [146 x^{5}] + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [146 x^{5}] + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [146 x^{5}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $146$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $146 x^{5}$ nach $x$ gleich $146 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$146 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$146 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $146$ .

$730 x^{4} + \frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [336 x^{5} \ln (x)]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $336$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $336 x^{5} \ln (x)$ nach $x$ gleich $336 \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ .

$730 x^{4} + 336 \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$730 x^{4} + 336 (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 4.3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$730 x^{4} + 336 (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$730 x^{4} + 336 (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Schritt 4.3.5

Kombiniere $x^{5}$ und $\frac{1}{x}$ .

$730 x^{4} + 336 (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$730 x^{4} + 336 (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Schritt 4.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$730 x^{4} + 336 (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Schritt 4.3.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$730 x^{4} + 336 (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Schritt 4.3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$730 x^{4} + 336 (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Schritt 4.3.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$730 x^{4} + 336 (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Schritt 4.3.6.2.5

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$730 x^{4} + 336 (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$730 x^{4} + 336 x^{4} + 336 (\ln (x) (5 x^{4}))$

Schritt 4.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $336$ .

$730 x^{4} + 336 x^{4} + 1680 (\ln (x) (x^{4}))$

Schritt 4.4.2.2

Addiere $730 x^{4}$ und $336 x^{4}$ .

$1066 x^{4} + 1680 \ln (x) x^{4}$

Schritt 4.4.3

Stelle die Terme um.

$f^{4} (x) = 1066 x^{4} + 1680 x^{4} \ln (x)$

Schritt 5

Bestimme die 5. Ableitung.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1066 x^{4} + 1680 x^{4} \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1066 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1066 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$

Schritt 5.2

Berechne $\frac{d}{d x} [1066 x^{4}]$ .

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Schritt 5.2.1

Da $1066$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1066 x^{4}$ nach $x$ gleich $1066 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$1066 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$

Schritt 5.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$1066 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1066$ .

$4264 x^{3} + \frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$

Schritt 5.3

Berechne $\frac{d}{d x} [1680 x^{4} \ln (x)]$ .

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Schritt 5.3.1

Da $1680$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1680 x^{4} \ln (x)$ nach $x$ gleich $1680 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$4264 x^{3} + 1680 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$4264 x^{3} + 1680 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5.3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4264 x^{3} + 1680 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4264 x^{3} + 1680 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 5.3.5

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{x}$ .

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 5.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 5.3.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 5.3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 5.3.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$4264 x^{3} + 1680 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 5.3.6.2.5

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$4264 x^{3} + 1680 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4264 x^{3} + 1680 x^{3} + 1680 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 5.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1680$ .

$4264 x^{3} + 1680 x^{3} + 6720 (\ln (x) (x^{3}))$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $4264 x^{3}$ und $1680 x^{3}$ .

$5944 x^{3} + 6720 \ln (x) x^{3}$

Schritt 5.4.3

Stelle die Terme um.

$f^{5} (x) = 5944 x^{3} + 6720 x^{3} \ln (x)$

Schritt 6

Bestimme die 6. Ableitung.

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Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5944 x^{3} + 6720 x^{3} \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5944 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5944 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$

Schritt 6.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5944 x^{3}]$ .

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Schritt 6.2.1

Da $5944$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5944 x^{3}$ nach $x$ gleich $5944 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5944 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$

Schritt 6.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5944 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $5944$ .

$17832 x^{2} + \frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$

Schritt 6.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6720 x^{3} \ln (x)]$ .

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Schritt 6.3.1

Da $6720$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6720 x^{3} \ln (x)$ nach $x$ gleich $6720 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$17832 x^{2} + 6720 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$

Schritt 6.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$17832 x^{2} + 6720 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 6.3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$17832 x^{2} + 6720 (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 6.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$17832 x^{2} + 6720 (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 6.3.5

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 6.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 6.3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 6.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 6.3.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 6.3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 6.3.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$17832 x^{2} + 6720 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 6.3.6.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$17832 x^{2} + 6720 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$17832 x^{2} + 6720 x^{2} + 6720 (\ln (x) (3 x^{2}))$

Schritt 6.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $6720$ .

$17832 x^{2} + 6720 x^{2} + 20160 (\ln (x) (x^{2}))$

Schritt 6.4.2.2

Addiere $17832 x^{2}$ und $6720 x^{2}$ .

$24552 x^{2} + 20160 \ln (x) x^{2}$

Schritt 6.4.3

Stelle die Terme um.

$f^{6} (x) = 24552 x^{2} + 20160 x^{2} \ln (x)$

Schritt 7

Bestimme die 7. Ableitung.

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Schritt 7.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24552 x^{2} + 20160 x^{2} \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [24552 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [24552 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$

Schritt 7.2

Berechne $\frac{d}{d x} [24552 x^{2}]$ .

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Schritt 7.2.1

Da $24552$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24552 x^{2}$ nach $x$ gleich $24552 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24552 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$

Schritt 7.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$24552 (2 x) + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $24552$ .

$49104 x + \frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$

Schritt 7.3

Berechne $\frac{d}{d x} [20160 x^{2} \ln (x)]$ .

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Schritt 7.3.1

Da $20160$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20160 x^{2} \ln (x)$ nach $x$ gleich $20160 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$49104 x + 20160 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Schritt 7.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$49104 x + 20160 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7.3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$49104 x + 20160 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$49104 x + 20160 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x))$

Schritt 7.3.5

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$49104 x + 20160 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x))$

Schritt 7.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 7.3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$49104 x + 20160 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Schritt 7.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$49104 x + 20160 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x))$

Schritt 7.3.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$49104 x + 20160 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Schritt 7.3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$49104 x + 20160 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Schritt 7.3.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$49104 x + 20160 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x))$

Schritt 7.3.6.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$49104 x + 20160 (x + \ln (x) (2 x))$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$49104 x + 20160 x + 20160 (\ln (x) (2 x))$

Schritt 7.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 7.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $20160$ .

$49104 x + 20160 x + 40320 (\ln (x) (x))$

Schritt 7.4.2.2

Addiere $49104 x$ und $20160 x$ .

$69264 x + 40320 \ln (x) x$

Schritt 7.4.3

Stelle die Terme um.

$f^{7} (x) = 40320 x \ln (x) + 69264 x$

Schritt 8

Bestimme die 8. Ableitung.

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Schritt 8.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $40320 x \ln (x) + 69264 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [40320 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [69264 x]$ .

$\frac{d}{d x} [40320 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Schritt 8.2

Berechne $\frac{d}{d x} [40320 x \ln (x)]$ .

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Schritt 8.2.1

Da $40320$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $40320 x \ln (x)$ nach $x$ gleich $40320 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$40320 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Schritt 8.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$40320 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Schritt 8.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$40320 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Schritt 8.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$40320 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Schritt 8.2.5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$40320 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Schritt 8.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$40320 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Schritt 8.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$40320 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Schritt 8.2.7

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$40320 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [69264 x]$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [69264 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Da $69264$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $69264 x$ nach $x$ gleich $69264 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40320 (1 + \ln (x)) + 69264 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$40320 (1 + \ln (x)) + 69264 \cdot 1$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $69264$ mit $1$ .

$40320 (1 + \ln (x)) + 69264$

Schritt 8.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$40320 \cdot 1 + 40320 \ln (x) + 69264$

Schritt 8.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 8.4.2.1

Mutltipliziere $40320$ mit $1$ .

$40320 + 40320 \ln (x) + 69264$

Schritt 8.4.2.2

Addiere $40320$ und $69264$ .

$f^{8} (x) = 40320 \ln (x) + 109584$

Schritt 9

Bestimme die 9. Ableitung.

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Schritt 9.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $40320 \ln (x) + 109584$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [40320 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [109584]$ .

$\frac{d}{d x} [40320 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [109584]$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{d}{d x} [40320 \ln (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Da $40320$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $40320 \ln (x)$ nach $x$ gleich $40320 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$40320 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [109584]$

Schritt 9.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$40320 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [109584]$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $40320$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{40320}{x} + \frac{d}{d x} [109584]$

Schritt 9.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Da $109584$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $109584$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{40320}{x} + 0$

Schritt 9.3.2

Addiere $\frac{40320}{x}$ und $0$ .

$f^{9} (x) = \frac{40320}{x}$