Analysis Beispiele

$y = \ln ({(x^{2} + 1)}^{3})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ und $\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ und ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus $3 {(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus ${(x^{2} + 1)}^{3}$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x)$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{x^{2} + 1} x$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{x^{2} + 1} x$

Schritt 3.6.4

Kombiniere $\frac{6}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$\frac{6 x}{x^{2} + 1}$