Analysis Beispiele

$\frac{e^{x}}{7 x^{2} + 9}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 7 x^{2} + 9$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} (14 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} (14 x + 0)}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $14 x$ und $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} (14 x)}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 9 e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $7 x^{2} e^{x} + 9 e^{x} - 14 e^{x} x$ um.

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 9 e^{x} - 14 x e^{x}}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 9 e^{x}}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 9 e^{x}$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $7 e^{x} x^{2}$ heraus.

$\frac{e^{x} (7 x^{2}) - 14 e^{x} x + 9 e^{x}}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 14 e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (7 x^{2}) + e^{x} (- 14 x) + 9 e^{x}}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $9 e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (7 x^{2}) + e^{x} (- 14 x) + e^{x} \cdot 9}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 4.4.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (7 x^{2}) + e^{x} (- 14 x)$ heraus.

$\frac{e^{x} (7 x^{2} - 14 x) + e^{x} \cdot 9}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 4.4.5

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (7 x^{2} - 14 x) + e^{x} \cdot 9$ heraus.

$\frac{e^{x} (7 x^{2} - 14 x + 9)}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$