Analysis Beispiele

$\frac{e^{x}}{7 x^{2} + 7}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 7 x^{2} + 7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + 0)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $14 x$ und $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x$ um.

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 x e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $7 e^{x}$ aus $7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}$ heraus.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $7 e^{x}$ aus $7 e^{x} x^{2}$ heraus.

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.2

Faktorisiere $7 e^{x}$ aus $- 14 e^{x} x$ heraus.

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.3

Faktorisiere $7 e^{x}$ aus $7 e^{x}$ heraus.

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4

Faktorisiere $7 e^{x}$ aus $7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x)$ heraus.

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.5

Faktorisiere $7 e^{x}$ aus $7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)$ heraus.

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.4.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4.4.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 4.4.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4.4.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{2} + 7$ heraus.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7)}^{2}}$

Schritt 4.5.1.2

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7 (1))}^{2}}$

Schritt 4.5.1.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (x^{2}) + 7 (1)$ heraus.

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Wende die Produktregel auf $7 (x^{2} + 1)$ an.

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7$ und $49$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $7$ aus $7 e^{x} {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.1

Faktorisiere $7$ aus $49 {(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Schritt 4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Schritt 4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7 {(x^{2} + 1)}^{2}}$