Analysis Beispiele

$\frac{e^{3 x}}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{3 x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$\frac{x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{3 x}) - e^{3 x} (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{3 x}) - 2 e^{3 x} x}{x^{4}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x^{2} e^{3 x} - 2 e^{3 x} x}{x^{4}}$

Schritt 5.1.2

Stelle die Faktoren in $3 x^{2} e^{3 x} - 2 e^{3 x} x$ um.

$\frac{3 x^{2} e^{3 x} - 2 x e^{3 x}}{x^{4}}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} - 2 e^{3 x} x}{x^{4}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $e^{3 x} x$ aus $3 e^{3 x} x^{2} - 2 e^{3 x} x$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $e^{3 x} x$ aus $3 e^{3 x} x^{2}$ heraus.

$\frac{e^{3 x} x (3 x) - 2 e^{3 x} x}{x^{4}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $e^{3 x} x$ aus $- 2 e^{3 x} x$ heraus.

$\frac{e^{3 x} x (3 x) + e^{3 x} x (- 2)}{x^{4}}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $e^{3 x} x$ aus $e^{3 x} x (3 x) + e^{3 x} x (- 2)$ heraus.

$\frac{e^{3 x} x (3 x - 2)}{x^{4}}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x$ aus $e^{3 x} x (3 x - 2)$ heraus.

$\frac{x (e^{3 x} (3 x - 2))}{x^{4}}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (e^{3 x} (3 x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (e^{3 x} (3 x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{3 x} (3 x - 2)}{x^{3}}$