Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{x^{2} - 25}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 2 x - 35$ und $g (x) = x^{2} - 25$ .

$\frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 35] - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x - 35$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $- 35$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 35$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.10

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 35) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 35) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $(x^{2} - 25) (2 x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (2 x + 2) - 25 (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 25$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 25$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{1 + 2} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 35$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 70 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - 50 x - 50 + 0 - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $2 x^{2} - 50 x - 50$ und $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 50 x - 50 - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 50 x - 50 + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Addiere $- 50 x$ und $70 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 20 x - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} + 20 x - 50$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 20 x - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $20 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (10 x) - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 50$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (10 x) + 2 (- 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2}) + 2 (10 x)$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 10 x) + 2 (- 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2} + 10 x) + 2 (- 25)$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 10 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.4.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

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Schritt 3.4.2.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 10 (x) - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.1.2

Schreibe $10$ um als $5$ plus $5$

$\frac{2 (- x^{2} + (5 + 5) x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.4.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (x (- x + 5) - 5 (- x + 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 5$ .

$\frac{2 ((- x + 5) (x - 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

$\frac{2 (- x + 5) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) + 5) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.3.2

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 5)$ heraus.

$\frac{2 (- (x - 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.3.4

Schreibe $- (x - 5)$ als $- 1 (x - 5)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x - 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.3.5

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 5)}^{1} (x - 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.3.6

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 5)}^{1 + 1}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 5) (x - 5)$ an.

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 5)}^{2}$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{2}}$