Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 10 x + 25$ und $g (x) = {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{({(x + 5)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 10 x + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.4

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.7

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 + 0) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 2.8

Addiere $2 x + 10$ und $0$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 5$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (2 u \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (2 (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x + 5$ aus ${(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x + 5$ aus ${(x + 5)}^{2} (2 x + 10)$ heraus.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x + 5$ aus $- 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$ heraus.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) + (x + 5) (- 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) + (x + 5) (- 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))$ heraus.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{{(x + 5)}^{4}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x + 5$ aus ${(x + 5)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{(x + 5) {(x + 5)}^{3}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{(x + 5) {(x + 5)}^{3}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) \cdot 1}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Multipliziere $(x + 5) (2 x + 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x + 10) + 5 (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 10 + 5 (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.2.1.3

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 \cdot x + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x + 10 x + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x + 10 x + 50 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.2.2

Addiere $10 x$ und $10 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 50$ .

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Schritt 10.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{20 x + 50 + 0 - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.2.2

Addiere $20 x + 50$ und $0$ .

$\frac{20 x + 50 - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.2.3

Subtrahiere $20 x$ von $20 x$ .

$\frac{0 + 50 - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.2.4

Addiere $0$ und $50$ .

$\frac{50 - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.2.2.5

Subtrahiere $50$ von $50$ .

$\frac{0}{{(x + 5)}^{3}}$

Schritt 10.3

Dividiere $0$ durch ${(x + 5)}^{3}$ .

$0$