Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{8 - 3 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 8 - 3 x$ .

$\frac{(8 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(8 - 3 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $8 - 3 x$ .

$\frac{2 \cdot (8 - 3 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (- 3 \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2} \cdot 1}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 (- 3 x)) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 (- 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16 x + 2 (- 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- 3 (x \cdot x)) + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- 3 x^{2}) + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{16 x - 6 x^{2} + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Addiere $- 6 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$\frac{16 x - 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 x^{2} + 16 x}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2} + 16 x$ heraus.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- 3 x) + 16 x}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $x$ aus $16 x$ heraus.

$\frac{x (- 3 x) + x \cdot 16}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 x) + x \cdot 16$ heraus.

$\frac{x (- 3 x + 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{x (- (3 x) + 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.7

Schreibe $16$ als $- 1 (- 16)$ um.

$\frac{x (- (3 x) - 1 (- 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 16)$ heraus.

$\frac{x (- (3 x - 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.9

Schreibe $- (3 x - 16)$ als $- 1 (3 x - 16)$ um.

$\frac{x (- 1 (3 x - 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (3 x - 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$