Analysis Beispiele

$\frac{- x^{2} - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = - x^{2} - 25$ und $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{({(x^{2} - 25)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 25)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 2.6

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 2.7

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 25$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 25) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 25) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 25$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 25) (2 (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25]))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 4.4

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) (2 x))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 4.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 25$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) (2 \cdot (x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) ((x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 2 {(x^{2} - 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe ${(x^{2} - 25)}^{2}$ als $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ um.

$\frac{- 2 ((x^{2} - 25) (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.3

Multipliziere $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} - 25) - 25 (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.4.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.4.1.2

Bringe $- 25$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} - 25 \cdot x^{2} - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 25$ mit $- 25$ .

$\frac{- 2 (x^{4} - 25 x^{2} - 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.4.2

Subtrahiere $25 x^{2}$ von $- 25 x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} - 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (- 50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 50$ mit $- 2$ .

$\frac{(- 2 x^{4} + 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $625$ .

$\frac{(- 2 x^{4} + 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{4} x + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 5.3.1.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{1 + 4} + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.8.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 (x^{1} x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 25$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} + 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.10

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.10.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.3.1.10.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} + 100) (x^{2} x^{1} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} + 100) (x^{2 + 1} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.10.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} + 100) (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.11

Multipliziere $(4 x^{2} + 100) (x^{3} - 25 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} - 25 x) + 100 (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.12.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.12.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.12.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.12.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.12.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 x^{2} x + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.12.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.12.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.12.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.12.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.12.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 x^{1 + 2} + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.12.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 x^{3} + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.12.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 100 x^{3} + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.12.1.5

Mutltipliziere $- 25$ mit $100$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 100 x^{3} + 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.12.2

Addiere $- 100 x^{3}$ und $100 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.1.12.3

Addiere $4 x^{5}$ und $0$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.2

Addiere $- 2 x^{5}$ und $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $2500 x$ von $- 1250 x$ .

$\frac{2 x^{5} + 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5} + 100 x^{3} - 3750 x$ heraus.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$\frac{2 x (x^{4}) + 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.4.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $100 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 3750 x$ heraus.

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.4.1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{4}) + 2 x (50 x^{2})$ heraus.

$\frac{2 x (x^{4} + 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.4.1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{4} + 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ heraus.

$\frac{2 x (x^{4} + 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} + 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$\frac{2 x (u^{2} + 50 u - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $u^{2} + 50 u - 1875$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 1875$ und deren Summe $50$ ist.

$- 25, 75$

Schritt 5.4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 x ((u - 25) (u + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{2 x ((x^{2} - 25) (x^{2} + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.4.6

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{2 x ((x^{2} - 5^{2}) (x^{2} + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.4.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x^{2} - 5^{2})}^{4}}$

Schritt 5.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{((x + 5) (x - 5))}^{4}}$

Schritt 5.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 5) (x - 5)$ an.

$\frac{2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 5$ und ${(x + 5)}^{4}$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)$ heraus.

$\frac{(x + 5) ((2 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $x + 5$ aus ${(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x + 5) ((2 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 5) ((2 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Schritt 5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 x (x - 5)) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 5$ und ${(x - 5)}^{4}$ .

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $x - 5$ aus $(2 x (x - 5)) (x^{2} + 75)$ heraus.

$\frac{(x - 5) ((2 x) (x^{2} + 75))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Schritt 5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.2.1

Faktorisiere $x - 5$ aus ${(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x - 5) ((2 x) (x^{2} + 75))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Schritt 5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) ((2 x) (x^{2} + 75))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Schritt 5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 x) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

$\frac{2 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$