Analysis Beispiele

$3 x {(16 - x)}^{3}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x {(16 - x)}^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [{(16 - x)}^{3}] + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 16 - x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $16 - x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $16 - x$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1)$

Schritt 4.9

Mutltipliziere ${(16 - x)}^{3}$ mit $1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- 9 (x ({(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $3 {(16 - x)}^{2}$ aus $- 9 x {(16 - x)}^{2} + 3 {(16 - x)}^{3}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $3 {(16 - x)}^{2}$ aus $- 9 x {(16 - x)}^{2}$ heraus.

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $3 {(16 - x)}^{2}$ aus $3 {(16 - x)}^{3}$ heraus.

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $3 {(16 - x)}^{2}$ aus $3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ heraus.

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x + 16 - x)$

Schritt 5.4

Subtrahiere $x$ von $- 3 x$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

Schritt 5.5

Schreibe ${(16 - x)}^{2}$ als $(16 - x) (16 - x)$ um.

$3 ((16 - x) (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.6

Multipliziere $(16 - x) (16 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (16 (16 - x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.1.1

Mutltipliziere $16$ mit $16$ .

$3 (256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$3 (256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.7.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.7.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.7.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.7.1.5.1

Bewege $x$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.7.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.7.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.7.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.7.2

Subtrahiere $16 x$ von $- 16 x$ .

$3 (256 - 32 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 \cdot 256 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.9

Vereinfache.

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Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $256$ .

$(768 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.9.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $3$ .

$(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Schritt 5.10

Multipliziere $(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$768 (- 4 x) + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.11.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $768$ .

$- 3072 x + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11.2

Mutltipliziere $768$ mit $16$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x \cdot x - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.11.4.1

Bewege $x$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 (x \cdot x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11.5

Mutltipliziere $- 96$ mit $- 4$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11.6

Mutltipliziere $16$ mit $- 96$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.11.8.1

Bewege $x$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.11.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

Schritt 5.11.10

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Schritt 5.12

Subtrahiere $1536 x$ von $- 3072 x$ .

$- 4608 x + 12288 + 384 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Schritt 5.13

Addiere $384 x^{2}$ und $48 x^{2}$ .

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$