Analysis Beispiele

$\frac{4 x - 1}{9 x + 8}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 x - 1$ und $g (x) = 9 x + 8$ .

$\frac{(9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x - 1] - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x + 8]}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(9 x + 8) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x + 8]}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(9 x + 8) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x + 8]}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(9 x + 8) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x + 8]}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{(9 x + 8) (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x + 8]}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(9 x + 8) (4 + 0) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x + 8]}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{(9 x + 8) \cdot 4 - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x + 8]}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $9 x + 8$ .

$\frac{4 \cdot (9 x + 8) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x + 8]}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{4 (9 x + 8) - (4 x - 1) (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (9 x + 8) - (4 x - 1) (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 (9 x + 8) - (4 x - 1) (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{4 (9 x + 8) - (4 x - 1) (9 + \frac{d}{d x} [8])}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (9 x + 8) - (4 x - 1) (9 + 0)}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{4 (9 x + 8) - (4 x - 1) \cdot 9}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (9 x + 8) - 9 (4 x - 1)}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (9 x) + 4 \cdot 8 - 9 (4 x - 1)}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (9 x) + 4 \cdot 8 - 9 (4 x) - 9 \cdot - 1}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{36 x + 4 \cdot 8 - 9 (4 x) - 9 \cdot - 1}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{36 x + 32 - 9 (4 x) - 9 \cdot - 1}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$\frac{36 x + 32 - 36 x - 9 \cdot - 1}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$\frac{36 x + 32 - 36 x + 9}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $36 x + 32 - 36 x + 9$ .

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $36 x$ von $36 x$ .

$\frac{0 + 32 + 9}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $0$ und $32$ .

$\frac{32 + 9}{{(9 x + 8)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $32$ und $9$ .

$\frac{41}{{(9 x + 8)}^{2}}$