Analysis Beispiele

$\frac{4 x}{\ln (x)}$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{\ln (x)}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\ln (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\ln (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$4 \frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$4 \frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $x$ .

$4 \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 5.4

Kombiniere $4$ und $\frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{4 (\ln (x) - 1)}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \ln (x) + 4 \cdot - 1}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $4 \ln (x)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln (x^{4}) + 4 \cdot - 1}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln (x^{4}) - 4}{\ln^{2} (x)}$