Analysis Beispiele

$\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 3 x^{2} + 27$ .

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3 x^{2} + 27$ mit $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{2}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 8

Subtrahiere $6 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$4 \frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 9

Kombiniere $4$ und $\frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 27)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2} + 108$ heraus.

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Schritt 10.3.1.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$\frac{12 (- x^{2}) + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 10.3.1.2

Faktorisiere $12$ aus $108$ heraus.

$\frac{12 (- x^{2}) + 12 (9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 10.3.1.3

Faktorisiere $12$ aus $12 (- x^{2}) + 12 (9)$ heraus.

$\frac{12 (- x^{2} + 9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 10.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{12 (- x^{2} + 3^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 10.3.3

Stelle $- x^{2}$ und $3^{2}$ um.

$\frac{12 (3^{2} - x^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 10.3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 27$ heraus.

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Schritt 10.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2}) + 27)}^{2}}$

Schritt 10.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Schritt 10.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 \cdot 9$ heraus.

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2} + 9))}^{2}}$

Schritt 10.4.2

Wende die Produktregel auf $3 (x^{2} + 9)$ an.

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{3^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 10.4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere $3$ aus $12 (3 + x) (3 - x)$ heraus.

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 10.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 {(x^{2} + 9)}^{2}$ heraus.

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

Schritt 10.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 {(x^{2} + 9)}^{2}}$