Analysis Beispiele

$\frac{4 - 2 x^{4} + x^{5}}{x^{9}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 - 2 x^{4} + x^{5}$ und $g (x) = x^{9}$ .

$\frac{x^{9} \frac{d}{d x} [4 - 2 x^{4} + x^{5}] - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{{(x^{9})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{9})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{9} \frac{d}{d x} [4 - 2 x^{4} + x^{5}] - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{9 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{x^{9} \frac{d}{d x} [4 - 2 x^{4} + x^{5}] - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 2 x^{4} + x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{9} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{9} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

$\frac{x^{9} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{9} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{x^{9} (- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{9} (- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{x^{9} (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$\frac{x^{9} (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) (9 x^{8})}{x^{18}}$

Schritt 2.10

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{9} (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}) x^{8}}{x^{18}}$

Schritt 2.10.2

Faktorisiere $x^{8}$ aus $x^{9} (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}) x^{8}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.2.1

Faktorisiere $x^{8}$ aus $x^{9} (- 8 x^{3} + 5 x^{4})$ heraus.

$\frac{x^{8} (x (- 8 x^{3} + 5 x^{4})) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}) x^{8}}{x^{18}}$

Schritt 2.10.2.2

Faktorisiere $x^{8}$ aus $- 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}) x^{8}$ heraus.

$\frac{x^{8} (x (- 8 x^{3} + 5 x^{4})) + x^{8} (- 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}))}{x^{18}}$

Schritt 2.10.2.3

Faktorisiere $x^{8}$ aus $x^{8} (x (- 8 x^{3} + 5 x^{4})) + x^{8} (- 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}))$ heraus.

$\frac{x^{8} (x (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}))}{x^{18}}$

Schritt 3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{8}$ aus $x^{18}$ heraus.

$\frac{x^{8} (x (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}))}{x^{8} x^{10}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{8} (x (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}))}{x^{8} x^{10}}$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5})}{x^{10}}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 8 x^{3}) + x (5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5})}{x^{10}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 8 x^{3}) + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 8 x \cdot x^{3} + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{- 8 (x^{3} x) + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 8 (x^{3} x^{1}) + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 8 x^{3 + 1} + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3.1.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{- 8 x^{4} + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 8 x^{4} + 5 x \cdot x^{4} - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.4.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{- 8 x^{4} + 5 (x^{4} x) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3.1.4.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 8 x^{4} + 5 (x^{4} x^{1}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 8 x^{4} + 5 x^{4 + 1} - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3.1.4.3

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{- 8 x^{4} + 5 x^{5} - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3.1.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$\frac{- 8 x^{4} + 5 x^{5} - 36 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 9$ .

$\frac{- 8 x^{4} + 5 x^{5} - 36 + 18 x^{4} - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 8 x^{4}$ und $18 x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4} + 5 x^{5} - 36 - 9 x^{5}}{x^{10}}$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $9 x^{5}$ von $5 x^{5}$ .

$\frac{10 x^{4} - 4 x^{5} - 36}{x^{10}}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4 x^{5} + 10 x^{4} - 36}{x^{10}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{5} + 10 x^{4} - 36$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{5}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{5}) + 10 x^{4} - 36}{x^{10}}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{4}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{5}) + 2 (5 x^{4}) - 36}{x^{10}}$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{5}) + 2 (5 x^{4}) + 2 (- 18)}{x^{10}}$

Schritt 4.5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{5}) + 2 (5 x^{4})$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{5} + 5 x^{4}) + 2 (- 18)}{x^{10}}$

Schritt 4.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{5} + 5 x^{4}) + 2 (- 18)$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{5} + 5 x^{4} - 18)}{x^{10}}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{5}$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x^{5}) + 5 x^{4} - 18)}{x^{10}}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x^{5}) - (- 5 x^{4}) - 18)}{x^{10}}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{5}) - (- 5 x^{4})$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x^{5} - 5 x^{4}) - 18)}{x^{10}}$

Schritt 4.9

Schreibe $- 18$ als $- 1 (18)$ um.

$\frac{2 (- (2 x^{5} - 5 x^{4}) - 1 (18))}{x^{10}}$

Schritt 4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{5} - 5 x^{4}) - 1 (18)$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x^{5} - 5 x^{4} + 18))}{x^{10}}$

Schritt 4.11

Schreibe $- (2 x^{5} - 5 x^{4} + 18)$ als $- 1 (2 x^{5} - 5 x^{4} + 18)$ um.

$\frac{2 (- 1 (2 x^{5} - 5 x^{4} + 18))}{x^{10}}$

Schritt 4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (2 x^{5} - 5 x^{4} + 18)}{x^{10}}$