Analysis Beispiele

$4^{6 - x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 4^{x}$ und $g (x) = 6 - x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $6 - x^{2}$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (- (2 x))$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (- 2 x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $4^{6 - x^{2}} \ln (4) (- 2 x)$ um.

$- 2 \cdot 4^{6 - x^{2}} x \ln (4)$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 2 \cdot 4^{6 - x^{2}}$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- (2 \cdot 4^{6 - x^{2}}) x \ln (4)$

Schritt 3.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- (2 \cdot {(2^{2})}^{6 - x^{2}}) x \ln (4)$

Schritt 3.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{6 - x^{2}}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \cdot 2^{2 (6 - x^{2})}) x \ln (4)$

Schritt 3.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 \cdot 2^{2 \cdot 6 + 2 (- x^{2})}) x \ln (4)$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- (2 \cdot 2^{12 + 2 (- x^{2})}) x \ln (4)$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- (2 \cdot 2^{12 - 2 x^{2}}) x \ln (4)$

Schritt 3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2^{1 + 12 - 2 x^{2}} x \ln (4)$

Schritt 3.2.5

Addiere $1$ und $12$ .

$- 2^{13 - 2 x^{2}} x \ln (4)$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $- 2^{13 - 2 x^{2}} x \ln (4)$ um.

$- x \cdot 2^{13 - 2 x^{2}} \ln (4)$