Analysis Beispiele

$4^{2 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 4^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$4^{2 x} \ln (4) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4^{2 x} \ln (4) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \cdot {(2^{2})}^{2 x} \ln (4) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{2 x}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 (2 x)} \ln (4) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \cdot 2^{4 x} \ln (4) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{1 + 4 x} \ln (4) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2^{1 + 4 x} \ln (4) \cdot 1$

Schritt 5

Mutltipliziere $2^{1 + 4 x}$ mit $1$ .

$2^{1 + 4 x} \ln (4)$