Analysis Beispiele

$\frac{7}{\ln (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{\ln (x)}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{\ln (x)}$ als $\ln^{- 1} (x)$ um.

$7 \frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$7 (- \ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 (\ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- 7 \ln^{- 2} (x) \frac{1}{x}$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $- 7$ .

$\frac{- 7}{x} \ln^{- 2} (x)$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{- 7}{x}$ und $\ln^{- 2} (x)$ .

$\frac{- 7 \ln^{- 2} (x)}{x}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Bringe $\ln^{- 2} (x)$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 7}{x \ln^{2} (x)}$

Schritt 5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{x \ln^{2} (x)}$